Западно-Китайская математическая олимпиада, 2005 год

Дано натуральное $n > 2$. Действительные числа $\mid x_i \mid \leq 1$ ($i = 1, 2, \ldots , n$) удовлетворяют неравенству $\left| {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right| > 1.$ Докажите, что существует натуральное $k$ такое, что $\left| {\sum\limits_{i = 1}^k {{x_i}} - \sum\limits_{i = k + 1}^n {{x_i}} } \right| \le 1.$

Комментарий/решение

Предположим, противное.

$$S_{k}=\sum \limits_{i=1}^{k}{x_{i}}-\sum \limits_{i=k+1}^{n}{x_{i}}$$

$$\textbf{Claim 1.} S_{k}S_{k+1}>0, k=1,2,3, \ldots, n-2$$

$$\textbf{Proof.}\ if\ S_{k+1}>1, S_{k}<-1 \Rightarrow S_{k+1}-S{k}=2a_{k+1}>2\ \emptyset$$

Из первого утверждения очевидно выходит что все такие числа имеют одинаковые знаки. Б.О.О. они все больше нуля.

$$\textbf{Claim 2.}\ x= \sum \limits_{i=1}^{n}{x_{i}}>1$$

$$\textbf{Proof.} \ if\ x<-1, S_{n-1}-1>1+x \Rightarrow -1>a_n\\ \emptyset$$

Но тогда просуммировав S_1 и х, получаем противоречие из того что выходит а1>1