Западно-Китайская математическая олимпиада, 2013 год

$PA, PB$ — касательные из точки $P$ к окружности с центром в $O$, а $C$ — точка на меньшей дуге $AB$. Перпендикуляр из $C$ к $PC$ пересекает биссектрисы углов $AOC,BOC$ в $D,E$, соответственно. Докажите, что $CD=CE$.

Комментарий/решение

Так как $PC \bot CE$ и $CB \bot OE$, $\angle CEO=\angle BCO=\angle ACM$ ($M$ середина $AB$ $\rightarrow AM=BM$) . $\angle CAM=\angle CAB=\dfrac{1}{2}\angle COB=\angle COE$. Значить треугольники $\triangle ACM \sim \triangle COE$ $\longrightarrow \dfrac{CM}{CE}=\dfrac{AM}{CO}$. Аналогично $\triangle BMC \sim \triangle COD$, и $\dfrac{CM}{CD}=\dfrac{BM}{CO}=\dfrac{AM}{CO}=\dfrac{CM}{CE} \longrightarrow CD=CE$

Там $\angle BCO=\angle ACM$, потому что $CM$ медиана и прямая $CP$ симедиана, так как $PA,$ $PB$ касательные к описанной окружности $\triangle ABC$