Областная олимпиада по математике, 1999 год, 10 класс

Пусть $O$ — центр вневписанной окружности $\omega $ треугольника $ABC$ ($AB\neq AC$). Окружность $\omega$ касается стороны $BC$ в точке $K$, а с продолжениями сторон $AC$ и $AB$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Определим точки: $T$ — точка пересечения прямых $AO$ и $PM$, $H$ — вторая точка пересечения окружности $\omega$ и прямой $AK$ Докажите, что точки $K$, $T$, $O$ и $H$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

Пусть $ \square AKTM$ вписанный (можно заметить через равенство углов). Тогда $$\angle AKT=180^\circ - \angle AMT$$$$ \Rightarrow \angle TKH = 180^\circ - \angle AKT = \angle AMT.$$

$$\angle MTK = 180^\circ - \angle MAK $$. Так как $ \square KTOH$ вписанный, $$\angle AKT = \angle TOH, \angle OHK =\angle ATK $$. Тогда нам достаточно доказать, что сумма четырёхугольника $\square KTOH$ равен $360^\circ$

$$\angle KTO +\angle TOH + \angle OHK +\angle TKH = (180^\circ - \angle ATK) + \angle AKT +\angle ATK + (180^\circ - \angle AKT) = 360^\circ $$

Я новичок в инверсии, так что строго не судите и скажите, если решение некорректна. Заметим, что PA и MA касательные к $\omega$. Сделаем инверсию относительно $\omega$. Тогда точка T перейдет в A. K и H остаются на своем месте. O перейдет в точку на бесконечности, а оно лежит на линии KH. Значит, образ KH переходит в окружность, проходящую через K, T, O, H.

Абсолютно верно, только есть одна поправочка. Точка O остаётся на месте если вы делаете инверсию относительно окружности $\omega$ . Да вы правильно указали, что точка $A$ перейдет в точку $T$. Тогда прямая $KH$ перейдет в окружность$(KOH)$. В силу того, что $KH$ проходит через $A$, то $T$ будет лежать на окружности $(KOH)$.