Западно-Китайская математическая олимпиада, 2019 год

Точки $O$ и $H$ — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника $ABC$ $(AB\ne AC)$. Точка $M$ — середина $BC$, а $K$ — такая точка пересечения прямой $AM$ и описанной окружности $\triangle BHC$, что $M$ лежит между $A$ и $K$. Прямые $HK$ и $BC$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что если $\angle BAM=\angle CAN,$ то $AN \perp OH$.

Комментарий/решение

Пусть $H'$ симметрична $H$ относительно $M$.

Заметим, что $(BHC)$ симметрична $(ABC)$ относительно прямой $BC$.

$\Rightarrow$ $ABKC$ - параллелограмм $\Rightarrow AHKH'$ - параллелограмм.

Пусть $H'A \cap BC = N'$ $\Rightarrow NM=N'M$, $A-O-N'$.

Пусть касательные к $(ABC)$, в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $L$.

$\Rightarrow$ Tак как $AN$ - симмедиана $\triangle ABC$, $A-N-L$. $OB \perp BL$, $OC \perp CL \Rightarrow OBLC$ - вписанный с диаметром $OL$. $O-M-L$.

Пусть $ON' \cap (OBLC) = Q$, $(Q \neq O)$, $LN \cap QM = P$.

$\Rightarrow$ По теореме о бабочке, $P \in (OBLC)$. $\Rightarrow OP \perp AN$

Пусть $AP \cap (ABC) = D$, $(D \neq A)$, $OP \cap BC = E$. $\Rightarrow ABDC$ - гармонический, $P$ середина $AD$

$\Rightarrow$ Так как $BC$ - симмедиана $\triangle ACD$, $EA$ - касательная к $(ABC)$

Пусть $AH \cap BC = F$. $\Rightarrow$ Tак как $OM \perp BC$, четырехугольники $EAOM$ и $EAPF$ - вписанные $\Rightarrow$ $A$ - точка Микеля для $POMF$.

$\Rightarrow \triangle APF \sim \triangle AOM$ $\Rightarrow \angle FPN = 180^\circ - \angle FPA = 180^\circ - \angle MOA = \angle LOQ = \angle LPQ = \angle MPN$ $\Rightarrow (E,N;F,M) = -1$

Пусть $X$ симметрична $H'$ относительно $OM$ $\Rightarrow X \in (ABC)$, $ON$, $AF$.

Пусть $OP \cap AF = Y$ $\Rightarrow$ $-1 = (E,N;F,M) \overset{O}{=} (Y,X;F,\infty_{AF})$, так как $OM$ $\|$ $AF$.

$\Rightarrow F$ - середина $XY$ $\Rightarrow$ $Y=H$ $\Rightarrow$ $OH \perp AN$