3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 (командный) тур, 2019 г.

Найдите сумму $x+y$, если: $x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000.$

Комментарий/решение

$x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=(x+y)^3+(x+y)^3-3x^2y-3xy^2+30xy$

$2\times(x+y)^3-3xy\times(x+y-10)=2000$

$2\times((x+y)^3-10^3) - 3xy\times (x+y-10)=0$

$2 \times (x+y-10) \times (x^2+2xy+y^2+10x+10y+100) - 3xy (x+y-10)=0$

$(x+y-10)\times(2x^2+4xy+2y^2+20x+20y-3xy+200)=0$

$(x+y-10)\times( (x+y+5)^2+(x-y)^2+170)=0$

Т.к правая скобка >0, значит $x+y-10=0$, откуда $x+y=10$