3-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур, 2019 г.

На столе лежат 300 монет. Петя, Вася и Толя играют в следующую игру. Они ходят по очереди в следующем порядке: Петя, Вася, Толя, Петя, Вася, Толя, и т.д. За один ход Петя может взять со стола 1, 2, 3 или 4 монеты, Вася 1 или 2 монеты, а Толя тоже 1 или 2 монеты. Могут ли Вася и Толя договориться так, что, как бы ни играл Петя, кто-то из них двоих заберет со стола последнюю монету?

Комментарий/решение

Они могут всегда брать так, чтоб сумма отнятых монет за раунд было четным, если Петя возьмет 1, то Толик и Вася тоже 1. Если от возьмет 2,3,4, то они могут взять 2,2 ; 1,2 ; 1,1 соответственно, значит количество монет после хода Толи и Васи будет делится на 3. Следовательно тк 0 делится на 3, то и в после их хода останется 0, значит они победили