Математикадан облыстық олимпиада, 2001-2002 оқу жылы, 11 сынып

$P\left( x \right)={{x}^{5}}-nx-n-2$ көпмүшелігі екі бүтін коэффициентті константа емес көпмүшеліктің көбейтіндісі түрінде жазуға болатындай $n$-нің барлық бүтін мәндерін табыңдар.

Комментарий/решение

Ответ:

$n=-2,10,19,34,342$

$$P(x)=Q(x)\cdot R(x), \quad Q,R\in\mathbb{Z[x]}, ~~\mathrm{deg}(Q,R)\geq 1$$

Боо можно считать что старший коэффециент для $Q,R$ равны $1$.

$$P(-1)=-3=Q(-1)\cdot R(-1)$$.

$$$$

1) Пусть боо $\mathrm{deg}(Q)=1$.

$$Q(-1)=(-1)-c=\pm 1, \pm 3 \quad c=0,\pm 2, -4.$$

$Q(c)=0=P(c):$

$$c^5-nc=n+2$$

Проверкой получаем $c=0\rightarrow n=-2,$ $c=-2\rightarrow n=34,$ $c=2\rightarrow n=10,$ $c=-4\rightarrow n=342.$

$$x-c \mid x^5-nx-n-2=x^5-cx^4+cx^4-c^2x^3+c^2x^3-c^3x^2+c^3x^2-c^4x^1+(c^4-n)x^1-(c^5-nc)$$

$$Q(x)=x-c \quad R(x)=x^4+cx^3+c^2x^2+c^3x+c^4-n$$

$$ (c,n)=(-4,342),(-2,34),(0,-2),(2,10)$$ убеждаемся что все коэффициенты целые.

$$$$

2) Пусть боо $\mathrm{deg}(Q)=2$.

$$Q(x)=x^2+ax+b, ~ R(x)=x^3+cx^2+dx+e.$$

$$(a+c)x^4=0,~ (b+ac+d)x^3=0, ~ (bc+ad+e)x^2=0, ~(ae+bd)=-n, ~be=-(n+2)$$

$$c=-a, ~ b+d=a^2\rightarrow d=a^2-b$$

$$e=ab-ad=a(2b-a^2)$$

$$a^2(2b-a^2)+b(a^2-b)=-n,~ ab(2b-a^2)=-(n+2)$$

$$2=ab(a^2-2b)+a^2(2b-a^2)+b(a^2-b)=-a^4+a^3\cdot b+a^2\cdot 3b+a\cdot (-2b^2)+(-b^2)$$

$$Q(-1)=1-a+b=\pm 1, \pm 3 \quad b=a,~a\pm 2,~a-4$$

$$b=a\rightarrow 2=-a^4+a^3(a)+a^2(3a)+a(-2a^2)+(-a^2)=a^3-a^2 \rightarrow a\not\in\mathbb{Z}$$

$$b=a-4\rightarrow 2=-a^4+a^3(a-4)+a^2(3a-12)+a(-2(a-4)^2)+(-(a-4)^2)=a^3(-3)+a^2(3)+a(-24)-16$$

$$3a^3-3a^2+24a+18=0\rightarrow a\not\in\mathbb{Z}$$

$$b=a-2\rightarrow 2=-a^4+a^3(a-2)+a^2(3a-6)+a(-2(a-2)^2)+(-(a-2)^2)=a^3(-1)+a^2+a(-4)-4$$

$$a^3-a^2+4a+6=(a+1)((a-1)^2+5)\rightarrow a=-1,b=-3, n=19$$

$$b=a+2\rightarrow a^4+a^3(a+2)+a^2(3a+6)+a(-2(a+2)^2)+(-(a+2)^2)=a^3(3)+a^2(-3)+a(-12)-8$$

$$3a^3-3a^2-12a-10=0\rightarrow a\not\in\mathbb{Z}$$