Республиканская олимпиада по математике, 2022 год, 10 класс

Для натурального числа $A$, определим $Z(A)$ как число $A$, записанное в обратном порядке (например, $Z(521)=125$ ). Число $A$ называется «хорошим», если в его десятичной записи нет нулей, первая цифра не равна последней, и $(Z(A))^{2}=Z(A^{2})$. Найдите все «хорошие» числа большие $10^{6}$. ( Абдыкулов А. )

Комментарий/решение

Тут не будет много воды, то есть я не буду объяснять каждую деталь.

Ответ: 1111112 и 2111111

Запишем А как $a_1a_2a_3...a_n$

Решение: Во первых если хотим найти такие А, чтобы они соответствовали $ (Z(A))^{2}=Z(A^{2})$, надо понять, что $а_1а_n + a_2a_{n-1} +...+ a_{n-1}a_2 + a_{n}a_1 < 9$.

А раз n = 7, то ни одна цифра не должна быть больше 2. Значит есть только две возможных цифры, это 1 и 2. Но если более одной цифры будут равны 2, то это опять же нарушает неравенство преведённое выше. То есть только одна цифра равна двойке, а остальные же равны единице.

Следовательно ответ 1111112 и 2111111.

Проверяем

$1111112^2 = 1234569876544$

$2111111^2 = 4456789654321$

ну вроде (11.111.111;11.111.111)

(1.111.111;1.111.111)

(111.111.111;111.111.111)

тоже подходят

первая цифра не равна последней по условию