Областная олимпиада по математике, 2004 год, 10 класс

Внутри треугольника выбраны окружности $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ одинакового радиуса такие, что каждая из них касается двух сторон треугольника, а окружность $\omega$ касается этих окружностей внешним образом. Докажите, что центр окружности $\omega$ лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника.

Комментарий/решение

Пусть $ABC$ данный треугольник, в котором $O$ и $I$ - центр описанной и вписанной окружности треугольника $ABC$ соответственно. Обозначим $I_1,I_2,I_3$ и $I_\omega$ окружностей $\omega _1,\omega _2, \omega _3$ и $\omega$ соответственно.

Так как радиусы окружностей $\omega _1,\omega _2, \omega _3$ равны, то расстояния от точек $I_1,I_2,I_3$ одинаковы до соответствующих сторон, поэтому очевидно, что при гомотетии с центром в точке $I$ треугольник $I_1I_2I_3$ переходит в треугольник $ABC$. При данной гомотетии точка $O$ переходит в центр описанной окружности треугольника $I_1I_2I_3$, совпадающий с точкой $I_\omega$, отсюда утверждение задачи верно.