6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 2 тур

Өлшемі $n\times n$ болатын квадрат тақта берілген. Арсен екі диагоналдардағы (жоғарыдағы сол жақтағы ұяшықтан төменгі оң және жоғарғы оң жақтағы ұяшықтан төменгі сол жаққа қарай жүретін) барлық ұяшықтарды көк түске бояп шықты. Арсен дәл 2023 ұяшықты көк түске бояуы мүмкін бе?

Комментарий/решение

Мы знаем что не чётные кол.во клеток на диагонали только на таблице ко с не чётными сторонами.На Таблице 3х3 их количество 5

На таблице 5x5 их количество 9 на таблице 7х7 их количество 13, и так продолжаясь можно заметить последовательность в +4.

Число $2023 \equiv 3 \pmod 4$.

А все эти числа $5,9,13,17.. \equiv 1 \pmod 4$

Значит на последовательности не будет числа 2023 а будет 2021 значит это не возможно.

Если n делится на 2, то у нас будет две одинаковые диагонали , противоречие

Значит n-нечетное , значит тк он центра в разные стороны выходят 4 "мини" диагонали, то 2023-1 делится на 4, но 2022 не делится на 4, противоречие

Ответ: нет