Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 10 класс

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AD$. Пусть $H$ — точка пересечения высот треугольника $ABC$. Окружность $\Omega$ проходит через точки $A$ и $B$, и касается прямой $AC$. Пусть $BE$ — диаметр $\Omega$. Прямые $BH$ и $AH$ во второй раз пересекают $\Omega$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Прямые $EK$ и $AB$ пересекаются в точке $T$. Докажите, что $\angle BDK=\angle BLT$. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

Пусть $F-$ основание перпендикуляра к $AC$ из точки $B$. Тогда точки $A,F,D$ и $B$ лежат на одной окружности и $\angle ABL=\angle LAF=\angle DAF=\angle FBD$. Получается нам достаточно доказать,что треугольники $BLT$ и $BDK$ пободны или $\frac{BL}{BT}=\frac{BD}{BK}$. Это равносильно к тому,то $\frac{BD}{BL}=\frac{BK}{BT}$. Заметим,что левая часть равна синусу угла $BLT$, а правая часть синусу $BTK$,ведь угол $BKT$ прямой,а эти углы равны так как углы $DBL$ и $KBT$ равны. Следовательно,их синусы равны и утверждение задачи доказано.

Пусть ${LD}$ $\cap$ ${KT}={S}$, ${TL}$ $\cap$ ${DK}={R}$.

$\angle SKB = \angle SDB = 90^\circ$ $\Rightarrow$ $SKDB$ $-$ вписанный.

$\Rightarrow$ $\angle LSK = \angle DBK = 90^\circ - \angle ACB = \angle LAC = \angle TBL$

$\Rightarrow$ $TSLB$ $-$ вписанный $\Rightarrow$ $B$ $-$ точка Микеля для $TLDK$.

$\Rightarrow$ $BLRD$ $-$ вписанный $\Rightarrow$ $\angle BDK = \angle BLT$

Прекрасное решение