Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2023-2024 учебный год, I тур заключительного этапа

Можно ли вписать в клетки таблицы ${3\times 3}$ различные натуральные числа так, чтобы как в любой строке, так и в любом столбце у записанных там трех чисел произведение делилось на 2024, а сумма была меньше 100? ( М. Евдокимов )

Комментарий/решение

Да

Пример

8 33 46

22 23 4

69 16 11

Ответ:Можно.

Разложить $2024$ на простые множители:

$2024÷2=1012$ $\Rightarrow$ $1012÷2=506$ $\Rightarrow$ $506÷2=253$ $\Rightarrow$ $253÷11=23$ $\Rightarrow$ $23÷23=1$

То есть из этого выходит, что разложение на простые множители $2024$ равно:

$2×2×2×11×23=2024$

Это можно записать вот так:

$8×11×23=2024$

$8+11+23=42<100$

Так как Сумма трех чисел меньше чем $100$ и произведение равно $2024$ то это значит, что так сделать можно.

Вот пример:

$8 ;11;23$

$11; 23 ;8$

$23 ; 8;11$

числа не могут быть равны

Ответ:нельзя

Решение:разложим 2024 на простые делители.выйдет 2*2*2*11*23.у нас в общем 6 столбцов и строка вместе.каждая клетка является множителем для 2 строк и столбов(1строка и 1 столб).Значит у нас три числа которые делятся на 23.если взять их минимальными то выйдут числа 23;46,92.но при этом в строке или столбце где стоит число 92 будет число делящеесе на 11 а это хотя бы 11.96+11=107.А это уже больше чем 100.

Почему именно $92$ а не $69$

разницы нет

По моему есть

$69 ⠀22 ⠀8$

$16 ⠀23 ⠀33$

$11 ⠀4 ⠀46$