Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2024 год

В наборе 2024 чисел: $2^1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{2024}$. Сколькими способами из этого набора можно убрать одно число, чтобы произведение оставшихся чисел было квадратом некоторого натурального числа?

Комментарий/решение

ОТВЕТ: 1324, 1539

Важно знать, что когда числа с одиннаковым основанием перемножается на число с таким основанием, их степени плюсуются.

Значит сумма всех степеней будет 2049300 и мы должны подобрать число, квадрат которого будет максимально приблежен к этому числу. Квадраты 1431 и 1432, максимально близки к 2049300

1431^2= 2047761

1432^2=2050624

Теперь лишь нужно отнять 2049300-2047761=1539

2050624-2049300=1324