Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 10 класс

а) Решите уравнение $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ в целых числах $x$, $y$.
   б) Разрешимо ли уравнение $\sqrt{x+20}+\sqrt{y+25}=\sqrt{xy+2025}$ в целых числах

Комментарий/решение

а) Из условия следует

$ \sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}=0$

Значит $\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy}-1=-1$

Раскроем скобки $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)$ и получим $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)=-\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{xy} +1$

Объединив все это

$ -(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)=\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt{xy} -1=-1$

Значит $(\sqrt{x}-1)(\sqrt{y}-1)=1$

А единицу можно получить только если $1 \times 1$ или $-1 \times -1$

Отсюда ответы

$x=y=0$ и $x=y=4$

б) Ответ: Да, разрешимо. Пример: $x=1580;y=0$

$\sqrt{xy}$ = $\sqrt{x}$ $\cdot$ $\sqrt{y}$ $\equiv 0 \pmod {\sqrt{x}}$

$\sqrt{xy}$ =$ \sqrt{x}$ $\cdot$ $\sqrt{y}$ $\equiv 0 \pmod {\sqrt{y}}$

$\sqrt{x} + \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{x}}$ $\Rightarrow$ $\sqrt{x} \equiv 0 \pmod {\sqrt{y}}$

$\sqrt{x} + \sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{y}}$ $\Rightarrow$ $\sqrt{y} \equiv 0 \pmod {\sqrt{x}}$

$\sqrt{x} = \sqrt{y}$ $\Rightarrow$ $2 \cdot \sqrt{x} = x$ $x = 0$ or $2 = \sqrt{x}$ $x = 4$