Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, I тур регионального этапа

Числа $x$, $y$, $z$ таковы, что $x > y^2+z^2$, $y > z^2+x^2$, $z > x^2+y^2$. Докажите, что каждое из чисел $x$, $y$, $z$ меньше $\frac{1}{2}$. ( Н. Агаханов, А. Храбров )

Комментарий/решение

$1)z \ge \dfrac{1}{2} \rightarrow x>y^2+z^2 \ge y^2+\dfrac{1}{4}\ge y$. Аналогично $y>x$ противоречие

$2)z<\dfrac{1}{2}$. Пусть $x \ge y \ge z$. Легко понять что $z^2 \ge y^2 \ge x^2 \Longrightarrow \dfrac{1}{2}>z>x^2+y^2 \ge 2x^2 \leftrightarrow \dfrac{1}{4}>x \rightarrow \dfrac{1}{2}>x>y>z$

Т.к задача симметрична для x ,y ,z , то Б.О.О. допустим $х\geq у\geq z$ ; также возьмем что хоть один из них $\geq \frac{1}{2}$, очевидно что тогда $x\geq \frac{1}{2} ; z > x^2+y^2$ по $AM\geq GM$ $x^2+y^2\geq 2xy\geq y$ и отсюда исходит что $ y\geq z$ и $ z>y$ , противоречие

$$x\ge y \ge 1 \Rightarrow x^2>y^2>y;2)x\ge 1\ge y \leftrightarrow x^2>y \Longleftrightarrow 1>x\ge y\ge z$$

$$x^2+\dfrac{1}{4}+y^2+\dfrac{1}{4}+z^2+\dfrac{1}{4}\ge x+y+z>2x^2+2y^2+2z^2 \Longleftrightarrow \dfrac{3}{4}>x^2+y^2+z^2>3x^2$$

$$\dfrac{1}{4}>x^2 \leftrightarrow \dfrac{1}{2}>x\ge y\ge z$$

$$x>y^2+z^2\ge 2yz; y>z^2+x^2\ge 2xz; z>x^2+y^2\ge 2xy$$

$$xy>2yz\cdot 2zx \leftrightarrow \dfrac{1}{4}>z^2 \leftrightarrow \dfrac{1}{2}>z$$ Аналогично для других

$$x>y^2+z^2\ge 0 \leftrightarrow x,y,z>0$$

$$x+y+z>2x^2+2y^2+2z^2 \Longleftrightarrow x(\frac{1}{2}-x)+y(\frac{1}{2}-y)+z(\frac{1}{2}-z)>0$$

$$1)x,y,z \ge \dfrac{1}{2} \Rightarrow x(\frac{1}{2}-x)+y(\frac{1}{2}-y)+z(\frac{1}{2}-z)\le 0 \varnothing$$

$$2)x\ge y \ge \dfrac{1}{2} >z \rightarrow \dfrac{1}{2}>z>x^2+y^2>\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2} \varnothing$$

$$3)x\ge \dfrac{1}{2}>y\ge z \Longrightarrow y>x^2+z^2\ge \dfrac{1}{4}+z^2\ge z \longleftrightarrow z>y \varnothing$$