8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Пусть $A=\frac{4}{1\cdot 3}-\frac{8}{3\cdot 5}+\frac{12}{5\cdot 7}-\frac{16}{7\cdot 9}+\frac{20}{9\cdot 11}-\ldots-\frac{2024}{1011\cdot 1013}.$ Найдите значение выражения $1013\cdot A$.

Комментарий/решение

$A=\dfrac{3+1}{1*3}-\dfrac{5+3}{5*3}+\dfrac{7+5}{7*5}-\cdots-\dfrac{1013+1011}{1013*1011}=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\cdots-\dfrac{1}{1011}-\dfrac{1}{1013}=1-\dfrac{1}{1013}=\dfrac{1012}{1013}\Leftrightarrow 1013A=1012$