Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс

Даны натуральные числа $n$ и $k$, где $k+1 < 2n$. Пусть $A$ — множество всех последовательностей $(a_1,a_2,\ldots,a_{2n})$ таких, что $a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=0$, $a_i\in\{1,-1\}$ и $a_1+a_2+\cdots+a_i\ge 0$ для всех $i=1,2,\ldots,2n$. Пусть $B$ — подмножество всех элементов $A$, для которых $a_k=1$, а $C$ — подмножество всех элементов $A$, для которых $a_{k+1}=1$. Докажите, что $|B|\cdot |C|\ge |A|\cdot |B\cap C|$. ($|X|$ — количество элементов множества $X$.) ( Д. Елиусизов )