Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, $I$ — центр вписанной окружности, а $J$ — середина дуги $AB$ окружности, описанной около $\triangle ABC$, не содержащей точку $C$. К окружности с центром $J$ и радиусом $JM$ провели касательные $IP$ и $IQ$ ($A$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $CI$). Описанные окружности треугольников $APJ$ и $BQJ$ вторично пересекаются в точке $R$. Прямые $IP$ и $IQ$ пересекают прямую $AB$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть $MX_1$ и $MY_1$ — биссектрисы треугольников $XMJ$ и $YMJ$ соответственно. Докажите, что точки $X_1, Y_1$ и $R$ лежат на одной прямой. ( М. Кунгожин )

Комментарий/решение

$JP = JM = JQ$ радиусы, а по лемме трезубца $AJ = IJ = BJ$.

Очевидно, что $JM \perp MB$. Тогда по пифагоре;

$IQ^2 = IJ^2 - JQ^2 = JB^2 - JM^2 = MB^2 \Rightarrow IQ = MB.$

Так же аналогично $IP = AM = MB = IQ$

$YM, YQ$ касательные, значит равны;

$IQ = MB \Rightarrow IY = YB; \angle MYI = \angle QYB, \Rightarrow \triangle MYI = \triangle QYB \Rightarrow MI = QB$

Так же аналогично $MI = AP = QB$.

Получаем; $AJ = IJ = BJ, PJ = JM = QJ, AP = MI = BQ$.

Значит треугольники $\triangle APJ = \triangle IMJ = \triangle BQJ$ равны.

$\Rightarrow \angle APJ = \angle BQJ$.

Пусть окружность $(APJ)$ пересекает прямую $AB$ в точке $R'$.

тогда $180^\circ - \angle BR'J = 180^\circ - \angle ARJ = \angle APJ = \angle BQJ$, из чего следует, что $BQJR'$ вписанный. Окружности $(APJ)$ и $(BQJ)$ вторично пересекаются в точках $R$ и $R'$. Значит $R = R'$, а она лежит на $AB$ , отсюда через счет углов легко доказать что точки $P , Q , R - $ лежат на одной прямой .

Чтобы точки $X_1 , Y_1 , R -$ лежал на одной прямой нам требуется доказать что

$(!) \frac{XX_1}{X_1J} \cdot \frac{JY_1}{Y_1Y} \cdot \frac{YR}{RX} = -1$ Значит надо доказать что $(!) \frac{XM}{MJ} \cdot \frac{JM}{MY} \cdot \frac{YR}{XR} = -1$

$\Rightarrow$ $(!) \frac{XM}{MY} = \frac{XR}{YR}$

Пусть точка $M' -$ вторая касательная прямая через точки $R$ на окружность с радиусом $JM .

$\Rightarrow$ $-1 = (P , M , Q , M')$

$IP , IQ -$ касательные , отсюда $I , M , M' -$ коллинеарны . Пусть точка $T -$ $PQ \cup MM'$

$\Rightarrow$ $-1 = (P , Q , M' , M) \overset{M}{=} (P , Q , T , R) \overset{I}{=} (X , Y , M , R)$,

$\Rightarrow$ $MY \cdot XR = XM \cdot YR$ $\blacksquare$