Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс

В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, $I$ — центр вписанной окружности, а $J$ — середина дуги $AB$ окружности, описанной около $\triangle ABC$, не содержащей точку $C$. К окружности с центром $J$ и радиусом $JM$ провели касательные $IP$ и $IQ$ ($A$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $CI$). Описанные окружности треугольников $APJ$ и $BQJ$ вторично пересекаются в точке $R$. Прямые $IP$ и $IQ$ пересекают прямую $AB$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Пусть $MX_1$ и $MY_1$ — биссектрисы треугольников $XMJ$ и $YMJ$ соответственно. Докажите, что точки $X_1, Y_1$ и $R$ лежат на одной прямой. ( М. Кунгожин )