Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2015 год. Беларусь

$ABC$ — сүйір бұрышты үшбұрыш болсын, ал $D$ — $C$ төбесінен жүргізілген биіктіктің табаны. $ABC$ бұрышының биссектрисасы $CD$ кесіндісін $E$ нүктесінде қиып өтеді, ал $ADE$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберін екінші рет $F$ нүктесінде қияды. Егер $\angle ADF = 45^{\circ}$ болса, онда $CF$ — $\omega$ шеңберін жанайтынын дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Заметим, что поскольку $\angle ADF=45^\circ$, то учитывая, что $BF$ - биссектриса $\angle CBD$, получим, что $F$ - центр вневписанной окружности треугольника $CDB$. Значит, $CF$ - биссектриса внешнего угла при вершине $C$. Положим $\angle ABC=2\beta$, отсюда $$\angle FCD = \frac{180^\circ - \angle BCD}{2} = \frac{180^\circ - (90^\circ - \angle ABC) }{2} = \frac{180^\circ - 90^\circ + 2\beta}{2} = 45^\circ+\beta.$$ Понятно, что $\angle CEF=\angle BED=90^\circ-\beta$. Из суммы углов для треугольника $CFE$: $$\angle CFE=180^\circ-\angle FCE-\angle FEC=180^\circ-(45^\circ+\beta)-(90^\circ-\beta)=45^\circ=\angle FDE,$$ значит $CF$ касается окружности $\omega$.