Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2016 год. Румыния

$S$ деп $n^4$ саны кем дегенде $n^2+1, n^2+2, \ldots, n^2+2n$ санының біреуіне бөлінетіндей барлық осындай натурал $n$ сандарының жиыны болсын. $S$ жиынында $7m$, $7m+1$, $7m+2$, $7m+5$, $7m+6$ түріндегі сандар шексіз көп болатынын және $7m+3$ мен $7m+4$ түріндегі сандар мүлде жоқ екенін дәлелдеңіз, мұндағы $m$ — бүтін сан.