Математикадан облыстық олимпиада, 2008-2009 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышына $(AB < BC)$ іштей сызылған шеңбердің центрі $I$ деп белгіленсін. $AC$ қабырғасының ортасын $M$ деп белгілейік. $ABC$ үшбұрышының сырттай сызылған шеңбердің $B$ төбесі жататын $AC$ доғасының ортасын $N$ деп белгілесек, онда $\angle IMA=\angle INB$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Лемма о воробьях

а что значит середина дуги АВС?

Середина дуги $AC$, содержащей точку $B$.

спс

Пусть $\angle INB=\alpha$ и описанная окр. треугольника $ABC$ пересекает стороны $AB,BC$ в точках $C_1,A_1$ соответсвенно. Тогда, по лемме о воробьях точки $I,A_1,C_1,B,N$ лежат на одной окружности и $A_1C=AM=MC=AC_1$ откуда $\angle INB=\angle IA_1B$, $\triangle IMC=\triangle IA_1C$. Получается $\angle IA_1C=\angle IMC=180-\alpha => \angle INB=\angle IMB=\alpha$ ч.т.д.

"описанная окр. треугольника $ABC$ пересекает стороны $AB, BC$ в точках $C_1,A_1$"?

Мне кажется тут опечатка

Ой, да извините описанная окружность $\triangle INB$.

Спасибо что исправили!

я тебя впервые вижу вежливым

а я тебя впервые на матоле, пр