Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2023 год. Словения

Даны $n \geqslant 3$ действительных положительных чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$. Для каждого $1 \leqslant i \leqslant n$ пусть $b_{i}=\frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{a_{i}}$ (здесь мы определяем $a_{0}$ как $a_{n}$, а также $a_{n+1}$ как $a_{1}$). Для всех $i$ и $j$ от 1 до $n$ включительно оказалось, что $a_{i} \leqslant a_{j}$ тогда и только тогда, когда $b_{i} \leqslant b_{j}$. Докажите, что $a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{n}$.

Комментарий/решение

$x_1\le x_2\le...\le x_n$ и $(x_1,x_2,...,x_n)\in (a_1,a_2,...,a_n)$. $y_i=\dfrac{x_{i-1}+x_{i+1}}{x_i}\Rightarrow y_1\le y_2\le...\le y_n$ и $(y_1,y_2,...,y_n)\in (b_1,b_2,...,b_n)$

$\dfrac{x_n+x_2}{x_1}=y_1\le y_3=\dfrac{x_2+x_4}{x_3}\le \dfrac{x_2+x_4}{x_1}\Rightarrow x_n\le x_4\Rightarrow x_1\le x_2\le x_3\le x_4=x_5=...=x_n\Rightarrow y_3=\dfrac{x_2+x_4}{x_3}\le \dfrac{x_2+x_n}{x_1}=y_1$ $\Rightarrow$ $ x_1=x_2=x_3\le x_4=x_5=...=x_n\Rightarrow y_4=\dfrac{x_5+x_3}{x_4}\le \dfrac{x_n+x_2}{x_1}=y_1\Rightarrow x_1=x_2=...=x_n\Rightarrow a_1=a_2=...a_n\blacksquare$

Возьмем $MAX[a_1,a_2,…,a_n]=a_j$ тогда:

$\forall i, b_i \leq b_j=\dfrac{a_{j+1}+a_{j-1}}{a_j} \leq \dfrac{2a_j}{a_j}=2 \Rightarrow a_{j+1}+a_{j-1} \leq 2a_j$

Если возьмем $MIN[a_1,a_2,…,a_n]=a_m$ тогда $a_{m+1}+a_{m-1} \leq 2a_m \Rightarrow a_m= a_{m+1}=a_{m-1}$ и также:

$2=\dfrac{2a_m}{a_m} \leq \dfrac{a_{m+1}+a_{m-1}}{a_m}=b_m \leq b_i : \forall i$ отсюда $2a_i=a_{i+1}+a_{i-1} \Rightarrow a_{i+1}-a_i=a_i-a_{i-1} \Rightarrow a_1=a_2=…=a_n$