Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2023 год. Словения

$a_1, a_2, \ldots, a_n$ нақты оң сандары берілген, мұнда $n \geqslant 3$. Әрбір $1 \leqslant i \leqslant n$ үшін $b_i = \frac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i}$ деп алайық (мұнда $a_0 = a_n$, ал $a_{n+1} = a_1$ деп есептейміз). Барлық $1 \leqslant i, j \leqslant n$ үшін $a_i \leqslant a_j$ болса және тек қана сол кезде $b_i \leqslant b_j$ орындалатыны белгілі. $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

$x_1\le x_2\le...\le x_n$ и $(x_1,x_2,...,x_n)\in (a_1,a_2,...,a_n)$. $y_i=\dfrac{x_{i-1}+x_{i+1}}{x_i}\Rightarrow y_1\le y_2\le...\le y_n$ и $(y_1,y_2,...,y_n)\in (b_1,b_2,...,b_n)$

$\dfrac{x_n+x_2}{x_1}=y_1\le y_3=\dfrac{x_2+x_4}{x_3}\le \dfrac{x_2+x_4}{x_1}\Rightarrow x_n\le x_4\Rightarrow x_1\le x_2\le x_3\le x_4=x_5=...=x_n\Rightarrow y_3=\dfrac{x_2+x_4}{x_3}\le \dfrac{x_2+x_n}{x_1}=y_1$ $\Rightarrow$ $ x_1=x_2=x_3\le x_4=x_5=...=x_n\Rightarrow y_4=\dfrac{x_5+x_3}{x_4}\le \dfrac{x_n+x_2}{x_1}=y_1\Rightarrow x_1=x_2=...=x_n\Rightarrow a_1=a_2=...a_n\blacksquare$