Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2023 год. Словения

$k$ — оң бүтін сан болсын. Лексида тек $A$ және $B$ әріптерінен тұратын $k$ әріптік бірнеше сөзден құралған $\mathcal{D}$ сөздігі бар. Ол әрбір бағанда жоғарыдан төмен қарай оқығанда және әрбір жолда солдан оңға қарай оқығанда $\mathcal{D}$-дегі сөз алынатындай $k \times k$ өлшемді кестенің әр ұяшығына $A$ не $B$ әрпін жазғысы келеді.
   $m$ санының қандай ең кіші бүтін мәнінде $\mathcal{D}$-да кемінде $m$ әртүрлі сөз болады, әрі $\mathcal{D}$-да қандай сөздер болмаса да, Лекси кепілді түрде жоғарыдағы шарттар орындалатындай берілген тақтаны толтыра алады?