Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2025 год. Косово

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точки $B$, $D$, $E$, $C$ лежат на одной прямой в указанном порядке и удовлетворяют равенствам $BD = DE = EC$. Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $AD$ и $AE$ соответственно. Известно, что треугольник $ADE$ остроугольный, а $H$ — точка пересечения высот этого треугольника. Пусть точки $P$ и $Q$ лежат на прямых $BM$ и $CN$ соответственно так, что точки $D$, $H$, $M$, $P$ попарно разные и лежат на одной окружности, и точки $E$, $H$, $N$, $Q$ попарно разные и лежат на одной окружности. Докажите, что точки $P$, $Q$, $N$, $M$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

\[A = (1,0,0); \quad D = (0,1,0); \quad E = (0,0,1); \quad M = (1:1:0); \quad N = (1:0:1); \quad B = (0,2,-1); \quad C = (0,-1,2);\]

\[BM \cap CN = R \quad BM = 2z + y - x; \quad CN = 2y + z - x; \quad R = (3:1:1); \quad H = (S_{BC} : S_{AC} : S_{AB});\]

По формуле окружности на $\ (DHM):$

\[\sum_{\mathrm{cyc}} a^2 yz = (x + y + z)(w_1 x + v_1 y + w_2 z)\]

\[(0,1,0) \to v_1 = 0; \quad (1:1:0) \to w_1 = \frac{c^2}{2}\]

\[(S_{BC} : S_{AC} : S_{AB}) \to S_{ABC} \sum_{\mathrm{cyc}} a^2 S_A = 2 S_{ABC} S_C^2 = S^2 \left( \frac{c^2}{2} S_{BC} + w_1 S_{AB} \right) = (S_{AB} + S_{AC} + S_{BC}) \left( \frac{c^2}{2} S_{BC} + w_1 S_{AB} \right)\]

\[2 S_{AC} - \frac{c^2}{2} S_C = w_1 S_A \quad \to \quad w_1 = 2 S_C - \frac{c^2 S_C}{2 S_A}\]

Аналогично $\ (EHN):$

\[\sum_{\mathrm{cyc}} a^2 yz = (x + y + z)(w_2 x + v_2 y + w_2 z)\]

\[(0,0,1) \to w_2 = 0; \quad (1:0:1) \to v_2 = \frac{b^2}{2}\]

\[(S_{BC} : S_{AC} : S_{AB}) \to S_{ABC} \sum_{\mathrm{cyc}} a^2 S_A = 2 S_{ABC} S_B^2 = S^2 \left( \frac{b^2}{2} S_{BC} + v_2 S_{AC} \right) = (S_{AB} + S_{AC} + S_{BC}) \left( \frac{b^2}{2} S_{BC} + v_2 S_{AC} \right) \]

\[2 S_{AB} - \frac{b^2}{2} S_B = v_2 S_A \quad \to \quad v_2 = 2 S_B - \frac{b^2 S_B}{2 S_A}\]

По формуле радикальной оси:

\[(w_1 - w_2) x + (v_1 - v_2) y + (w_1 - w_2) z = 0 \quad \to \quad \left( \frac{c^2}{2} - \frac{b^2}{2} \right) x - \left( 2 S_B - \frac{b^2 S_B}{2 S_A} \right) y - \left( 2 S_C - \frac{c^2 S_C}{2 S_A} \right) z\]

\[(3:1:1) \to \frac{3(c^2 - b^2)}{2} + (2 S_C - 2 S_B) + \frac{b^2 S_B - c^2 S_C}{2 S_A} = \frac{1}{2} \left( 3 c^2 - 3 b^2 + \frac{v^2 S_B - c^2 S_C}{S_A} \right) + 2 b^2 - 2 c^2 = 0\]

Пусть $HR$ будет диаметром $(AHE)$, а $HS$ будет диаметром $(AHD)$. $\angle SHA+\angle NAR=180^\circ;$ $BC\bot AH\bot SR\Longrightarrow BC\parallel SR\parallel DE\parallel MN,$ $\angle ARE=180-\angle AHE=\angle ADE\Longrightarrow ADER$ параллелограмм, что означает, что $M$ лежит в середине $BR$, аналогично $N$ лежит в середине $CS.$ $\angle HRS=\angle HRA=\angle HEA=\angle HEN=\angle HQN=\angle HQS\Longrightarrow QRSH$ вписан, аналогично $PSRH$ вписан, что означает, что $SRQP$ вписан. Это означает $180-\angle PMN=\angle NMR=\angle MRS=\angle PRS=\angle PQS=\angle PQN\Longrightarrow \angle PQN +\angle PMN=180^\circ$, что означает, что $P,Q,N,M$ лежат на одной окружности.