8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 3 тур

Дан прямоугольник $ABCD$ с соотношением сторон $AB:AD=1:2$. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Внутри угла $BAN$ отмечена точка $K$ так, что $AK=BM$ и ${BK \perp BM}$. Прямые $AK$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $PD$ и $MN$ — в точке $Q$. Докажите, что $\angle AQP=60^\circ$.

Комментарий/решение

$KE\bot AN;$ $E=KE\cup AN\Longrightarrow KE=BF=\dfrac{BM}{2}=\dfrac{AK}{2}\Longrightarrow \angle KAE=30\Longrightarrow \angle PAB=15$ $\angle P'DA=30;$ $DP'\cup BC=P'\Longrightarrow DP'=2DC=2AB=AD\Longrightarrow \angle AP'D=\angle PA'D=75\longrightarrow \angle PAB=\angle P'AB=15\Longrightarrow P=P'\Longrightarrow \angle AQP=180-\angle DQA=180-2\angle DQM=180-(180-2\angle PDA)=60^\circ$