8-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Дөңес $ABCD$ төртбұрышында $BC+DC=AC$, $\angle BCD=120^\circ$ және $AC$ диагоналі $C$ бұрышының биссекрисасы екені белгілі. $AB=AD$ екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Из точки $A$ опустим перпендикуляры $AH_1,AH_2$ на стороны $BC,CD$ соответственно.Тогда $CH_2=CH_1=\dfrac{AC}{2}$ и если оба $AH_1,AH_2$ находятся вне четырехугольника то $BC+CD<CH_1+CH_2=AC$ противоречие.Если оба находятся в четырехугольнике то $BC+CD>CH_1+CH_2=AC$ противоречие.Тогда Б.О.О $AH_2$ находится в четырехугольнике а $AH_1$ вне.Тогда $AC=BC+CD=CH_1-BH_1+CH_2+H_2D=AC-BH_1+H_2D\Rightarrow BH_1=DH_2$ и тогда треугольники $AH_1B,AH_2D$ равны по двум сторонам и углу между ними и из равенства треугольников выходит что $AB=AD$