Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2023-2024 учебный год. 8 класс.

$\alpha$ саны $x^2-2x-5=0$ теңдеуiнiң түбiрi. $\alpha^7 - 1189\alpha$ өрнегінің мәнін табыңыз.

Комментарий/решение

Заметим, что $a^2 = 2a + 5$

$a^3 = a^2 × a = (2a + 5)a = 2a^2 + 5a = 2(2a + 5) + 5a = 9a + 10$

$a^4 = a^3 × a = (9a+10)a = 9a^2 + 10a = 9(2a+5) + 10a = 28a + 45$

$a^7 = a^4 × a^3 = (28a + 45)(9a + 10) = 252a^2 + 685a + 450 = 252(2a+5) + 685a + 450 = 1189a + 1710$

$a^7 - 1189a = (1189a + 1710) - 1189a = 1710$