Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 7 класс.

$ABC$ тiкбұрышты үшбұрышында $AB$ гипотенузасына $CD$ медианасы жүргiзiлген. $D$ нүктесiнен $CD$ медианасына жүргiзiлген перпендикуляр түзу $AC$ және $BC$ түзулерiн сәйкесiнше $P$ және $Q$ нүктелерiнде қиады. $M$ — $P$ кесiндiсiнiң ортасы. $CM \perp AB$ болатынын дәлелдеңiз.

Комментарий/решение

∠CQP=90-∠DCQ=90-∠BCD=90-∠CBD=∠A

∠QCM=∠MQC=∠CQP =∠A

∠CTB =180-∠B -∠BCT=180-∠B-∠QCM=180-∠B -∠A =180-90=90

Это и означает что CM перпендикулярно AB