Юниорская олимпиада по математике. Заключительный этап. 2023-2024 учебный год. 8 класс.

В треугольнике $ABC$ $\angle ABC = 60^\circ$. $O$ — центр его описанной окружности, а $H$ — его ортоцентр (точка пересечения высот). $D$ — точка на $BC$ такая, что $BD=BH$, а $E$ — точка на $AB$ такая, что $BE=BO$. Найдите длину $DE$, если $BO=1$.

Комментарий/решение

$CH\cup AB=P;$ $Q$ середина $BC.$ $2\angle OBQ=180-2\angle BOQ=90-\angle BOC=180-2\angle BAC=2\angle HBP;$ $\angle BCP=30\longrightarrow BQ=QC=BP\Longrightarrow BD=BH=BO=BE\longrightarrow BO=DE=1$

откуда БД стало равно БО?

$BH=BP;$ $ \angle HBP=\angle OBQ;$ $\angle BQO=\angle BPH=90\Rightarrow$ $\triangle BHP=\triangle BOP\Rightarrow BH=BO\blacksquare$