Юниорская олимпиада по математике. Областной этап. 2024-2025 учебный год. 8 класс.

Действительные числа $a$ и $b$ удовлетворяют равенству $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{2}{a b}+1$. Найдите все возможные значения выражения $\frac{a^{3}}{b^{3}}+\frac{b^{3}}{a^{3}}-\frac{8}{a^{3} b^{3}}-\frac{12}{a^{2} b^{2}}.$

Комментарий/решение

$1. \quad \text{Пусть } s = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{2}{ab} + 1 \cdot s^3 = \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right)^3 = \left( \frac{2}{ab} + 1 \right)^3,$

$ \quad \frac{a^3}{b^3} + \frac{b^3}{a^3} + 3s = \frac{8}{a^3 b^3} + 1 + 3 \cdot 2 \cdot \frac{a^3}{b^3} s, \frac{a^3}{b^3} + \frac{b^3}{a^3} - \frac{8}{a^3 b^3} = 3s \left( \frac{2}{ab} - 1 \right) + 1,$

$3 \left( \frac{2}{ab} + 1 \right) \left( \frac{2}{ab} - 1 \right) + 1 = 3 \left( \frac{4}{a^2 b^2} - 1 \right) + 1 = \frac{12}{a^2 b^2} - 2,$

$ \quad \frac{a^3}{b^3} + \frac{b^3}{a^3} - \frac{8}{a^3 b^3} - \frac{12}{a^2 b^2} = -2$