Областная олимпиада по математике, 2010 год, 10 класс

Вычислите значение выражения $\left[ {\sqrt {2010^2 + 1} + \sqrt {2010^2 + 2} + \dots + \sqrt {2010^2 + 4020} } \right],$ где $[x]$ обозначает целую часть числа $x$, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее $x$.

Комментарий/решение

Ответ: 8082210

Корень из первого слагаемого равен 2010,00025 , а из последнего слагаемого 2010,99975 . Этот ряд чисел представляет собой почти арифмитическую прогрессию, поэтому её сумму найдем так: $$\dfrac {2010,00025+2010,99975}{2}×4020=8082210$$

Не обязательно $\sqrt{n}+2d=\sqrt{n+1}+d=\sqrt{n+2}$

То есть тут нельзя применять арифметическую прогрессию

тем не менее, ответ вышел верным . а еще как вы все оформляете задачи, это ведь долго

$ 1\le k\le 4020\ \ \Rightarrow \ \ 2010<\sqrt{2010^2+k}<\sqrt{2010^2+4020+1}=2011 \ \ $

$\frac{k}{4021}<\frac{k}{\sqrt{2010^2+k}+2010}<\frac{k}{4020}\ \ \ \Rightarrow \ \ \frac{k}{4021}<\sqrt{2010^2+k}-2010<\frac{k}{4020}$

$2010+\frac{k}{4021}<\sqrt{2010^2+k}<2010+\frac{k}{4020}$

$\sum\limits_{k=1}^{4020}(2010+\frac{k}{4021})<\sum\limits_{k=1}^{4020} \sqrt{2010^2+k}<\sum\limits_{k=1}^{4020}(2010+\frac{k}{4020})$

$\Rightarrow 4020\cdot 2010+2010 <\sum\limits_{k=1}^{4020} \sqrt{2010^2+k}<4020\cdot 2010+2010+\frac{1}{2}$

$\left[ \ \ \sum\limits_{k=1}^{4020} \sqrt{2010^2+k} \ \ \right] =4020\cdot 2010+2010$

Можете обьяснить почему k/4021 < корень(2010^2+k) -2010 < k/4020

$\frac{k}{\sqrt{2010^2+k}+2010}=\sqrt{2010^2+k}-2010$

хорошие ответ $respect$

$2010=n \ \ $ болсын. $1\le k\le 2n \ \ \Rightarrow \ \ n< \sqrt{n^2+k}<n+1$

$\sqrt{n^2+k}=n+a_k$ болсын. Мұндағы $a_k\in (0,1), \ \ k=1,2,3,...,2n$

$n^2+k=(n+a_k)^2 \ \ \Rightarrow \ \ k=2na_k+a_k^2$

$a_k\in (0,1) \ \Rightarrow \ \ a_k>a_k^2>2a_k-1$

$\Rightarrow 2na_k+2a_k-1<k<2na_k+a_k \ \ \Rightarrow \ \ \frac{k}{2n+1}<a_k<\frac{k+1}{2(n+1)}$

$\Rightarrow \sum\limits_{k=1}^{2n} \frac{k}{2n+1}<\sum\limits_{k=1}^{2n} a_k< \sum\limits_{k=1}^{2n}\frac{k+1}{2(n+1)}$

$n<\sum\limits_{k=1}^{2n} a_k<\frac{(2n+1)(n+1)-1}{2(n+1)}<n+1$

$2n^2+n<\sum\limits_{k=1}^{2n} (n+a_k)<2n^2+n+1$

$2n^2+n<\sum\limits_{k=1}^{2n} \sqrt{n^2+k}<2n^2+n+1$

$\left[ \sum\limits_{k=1}^{2n} \sqrt{n^2+k} \right]=2n^2+n$

нифига твой ответ не правилно n+k=(n+a)

Иногда в математике можно столкнуться с неожиданной реакцией даже на верное решение. Представьте себе: вы решаете задачу, выкладываете своё решение на сайте Matol.kz, и вдруг получаете комментарий:

“Нифига, твой ответ не правильный. $n + k = (n + a)$.”

Сначала это может вызвать недоумение. Если ваш ответ логически обоснован и проверен, откуда такое возмущение? Возможно, дело вовсе не в математике, а в том, как люди воспринимают знания.

Во-первых, автор комментария мог просто не вникнуть в ваш подход. В математике часто существует несколько путей к решению, и если кто-то привык к одному способу, он может отвергать другие. Но истина в том, что если доказательство строгое, то альтернативный путь не делает его менее правильным.

Во-вторых, бывают ситуации, когда люди эмоционально реагируют на неожиданные ответы. Если ваше решение нестандартно, кто-то может инстинктивно считать его ошибочным, потому что оно не совпадает с привычными шаблонами.

Но самая забавная ситуация — когда сам критик ошибается. Формула $n + k = (n + a)$, приведённая в комментарии, не имеет смысла, если только $k$ не равно $a$. Это иронично: пытаясь опровергнуть чужой ответ, человек демонстрирует свою невнимательность.

Математика — это мир логики, а не эмоций. Поэтому вместо того, чтобы расстраиваться из-за странных комментариев, стоит просто перепроверить решение, улыбнуться и идти дальше. Ведь в конце концов, числа говорят громче слов.

а понел извини $respect$

кто решил кроме ардак