12-я международная Иранская олимпиада по геометрии, 2025 год, первая лига, 7-8 классы

Дан равносторонний треугольник $ABC$. Точки $O_{1}$ и $O_{2}$ лежат на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Известно, что окружность с центром в $O_{1}$, проходящая через $B$, и окружность с центром в $O_{2}$, проходящая через $C$, внешним образом касаются в точке $P$ ($P$ лежит внутри треугольника). Найдите $\angle BPC$.

Комментарий/решение

Из за того что радиусы равны $\angle BO_1P=\angle O_1PB=\alpha, \angle O_2CP=\angle CPO_2=\beta \Rightarrow \angle BPC= 180^\circ-(60^\circ-\alpha+60^\circ-\beta)=60+\alpha+\beta \Rightarrow \alpha+\beta=60^\circ \Rightarrow \angle BPC= 180^\circ- (\alpha+\beta)=120^\circ$

Проведем общую касательную через точку Р.Теперь Соединим точку О1 и О2 с Р.Понятно что О1 и Р,О2 и Р перпендикулярны.Значит два центра и точка Р лежит в одной точке.Так как О1В и О1Р(радиусы) равны ∠О1ВР= ∠О1РВ соответсвенно углы ∠О2РС= ∠О2СР равны.Допустим угол О1ВР=а,и О1СР=b.Дано что АBС равностороний значит ∠А=60` и знаем что ∠АО1О2=2а и ∠АО2О1=2b.Значит а+b=60.Теперь найдем угол ∠РВС=60-а и ∠РСВ=60-b.Теперь найдем ∠ВРС.Это 180-(60-а+60-b)=60+а+b=120

Ответ:120’