Районная олимпиада, 2025-2026 учебный год, 9 класс

$ABCD$ — квадрат. Окружность с центром в $C$ и радиусом $CB$ пересекает окружность с диаметром $AB$ в точке $E$. Если $AB = 2$, найдите $AE$.

Комментарий/решение

Пусть $M$ середина $AB,$ и $CM\cap EB=F\Rightarrow MC=\sqrt{MB^2+BC^2}=\sqrt{5}\Rightarrow CF\cdot CM=CB^2=4=CF\cdot \sqrt{5}$ $\Rightarrow FM=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow FB^2=CF\cdot FM=\dfrac{4}{5}\Rightarrow BE=\dfrac{4}{\sqrt{5}}\Rightarrow$ $AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4-\dfrac{16}{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$

$AB$ — диаметр $\Rightarrow \angle AEB = 90^\circ$.

Пусть $\angle ABE = \alpha \Rightarrow \angle EAD = \alpha$.

$\triangle BED$ вписан в окружность с центром $C \Rightarrow \angle AED = 135^\circ$

$\angle EBD = 45^\circ - \alpha \angle BDE = \alpha$

$\triangle BED \sim \triangle DEA$.

$AE = x \Rightarrow DE = x\sqrt{2}$.

По теореме косинусов $\Rightarrow x = \sqrt{\frac{4}{5}}$.

Через метод координат. Пусть А(0;0) B(0;2) C(2;2) D(2;0) F(1;0) AF=FD

уравнение окружности с центром в С и радиуса 2 равно (x-2)^2 + (y-2)^2=4

уравнение окружности с центром в F и радиуса 1 равно (x-1)^2+y^2=1

составив систему получим y=0 и y= 4/5. тогда x= 2 и x=2/5

Е(2/5; 4/5)

находим АЕ=sqrt( (2/5-0)^2 +(4/5-0)^2 )=2sqrt(5) / 5

Заметим что $E$ - точка шалтая треугольника $ABD$ значит $BE$ делит $AD$ пополам