Областная олимпиада по математике, 2011 год, 10 класс

Вещественные числа $a_1, a_2, \dots ,a_{20}$ таковы, что $$ |a_1-a_2|=2|a_2-a_3|= \dots =19|a_{19}-a_{20}|=20|a_{20}-a_1|. $$ Докажите, что $a_1=a_2= \dots =a_{20}$.

Комментарий/решение

$$ |a_{i}-a_{i+1}|=i\cdot |a_{i} -a_{i+1}| \Rightarrow i=1 \Rightarrow |a_{1}-a_{2}|=1\cdot |a_{1} -a_{2}| $$

$$ |a_{i+1}-a_{i+2}|=(i+1)\cdot |a_{i+1} -a_{i+2}| \Rightarrow i=0 \Rightarrow |a_{1}-a_{2}|=1\cdot |a_{1} -a_{2}| $$

$$...............$$

$$...............$$

$$................$$

$$ |a_{k}-a_{k+1}|=k\cdot |a_{k} -a_{k+1}| $$ $$ k,i \in N$$

Допустим все эти равенства равны числу $A$. Тогда задачу можно понять так: мы берем число $a_1$ на числовой прямой и прыгаем в налево или направо на расстояние $A$. Потом также прыгаем, только теперь на $\frac{A}{2}$. И точно так продолжая мы должны вернутся на само число $a_1$. Значит наше перемещение равен нулю, чего можно записать как $A(\pm 1 \pm \frac{1}{2} \pm ... \pm \frac{1}{20})=0$. Очевидно, что вторая скобка не равен 0 (можете доказать используя число 17). Значит $A=0$