Областная олимпиада по математике, 2026 год, 11 класс

Назовём целое число «чудесным», если его можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел. Рассмотрим множество, состоящее из $n$ последовательных целых чисел. Если каждый элемент этого множества является чудесным, то мы назовём такое множество «супер множеством». Найдите наибольшее натуральное число $n$ такое, что найдется бесконечно много супер множеств, состоящих из $n$ элементов.

Комментарий/решение

Ровно та же задача что и на Областной Олимпиаде 2013 год, 9 класс, 4 задача

Пусть $n>3$

Тогда в множестве имеются остатки от чисел ${0,1,2,3}$ но ведь сумма квадратов двух целых чисел $= a^{2} + b^{2} \equiv {0,1,2} \pmod {4} .Следовательно. $n<4$ . Докажем что таких чисел бесконечно:

$${4m^{4} + 4m^{2} , 4m^{4} + 4m^{2} + 1 , 4m^{4} + 4m^{2} + 2}$$ где $m \in Z$ и $m=0$

И они представимы вот так:

$$(2m^{2})^{2} + (2m)^{2}$$

$$(2m^{2} + 1)^{2} + 0^{2}$$

$$(2m^{2} + 1)^{2} + 1^{2}$$

Ответ : $n=3$

Поправка $n<4$