Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2026 год

Какое наименьшее натуральное значение может принимать выражение $$13a^2+b^2+c^2-4ab-6ac+b$$ для натуральных чисел $a,b,c$?

Комментарий/решение

13a² + b² + c² - 4ab - 6ac + b

4a² + b² - 4ab + 9a² + c² - 6ac + b

(2a-b)² + (3a-c)² + b (*)

Выражение (*) не меньше b, т.к два остальных слагаемых не меньше нуля.

(*)=b только при 2a=b и c=3a

b четно, значит b>=2

b=2 a=1 c=3

Ответ:2