30-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Румыния, 2026 год

Найдите все пары положительных целых чисел $(a,b)$, для которых число $a+1$ делит число $b+2$, а число $b$ делит число $2a^2$.

Комментарий/решение

Пусть $a = dx$, $b = dy$, $d = (a,b)$, $(x,y)=1$. Тогда $dx + 1 \mid dy + 2$, $dx + 1 \mid d(y-x)+1$, $dx+1 \mid d(y-2x)$, $(d, dx+1)=1$, значит $dx+1 \mid y-2x = k$. При $k=0$, $y=2x$, что подходит, откуда $(n,2n)$. При $k>0$, $dx+1 \le y-2x$, $y \ge x(d+2)+1$, также $dy \mid 2d^2x^2$, $y \mid 2dx^2$, $(x^2,y)=1$, $y \mid 2d$, $x(d+2)+1 \le 2d$, $x \le \frac{2d-1}{d+2} < 2$, $x=1$. $2d = yn$, $\frac{yn}{2}+1 \mid y-2$, при $n \ge 2$: $\frac{yn}{2}+1 \ge y+1 > y-2$, если не $y=2$. Значит $n=1$, $2d=y$. $a=d$, $b=dy=2d^2$, $d+1 \mid 2d^2+2$, $d+1 \mid 2(d+1)^2 - (2d^2+2) = 2d$, отсюда $d=1$ или $3$. Итак, $(a,b)=(1,2),(3,18)$. При $k<0$, $dx+1 \le 2x-y$, $1 \le y \le x(2-d)-1$, $d=1$. $y \mid 2d = 2$. Отсюда $b=1$ или $b=2$, подставляем, находим $(a,b)=(2,1),(3,2)$.

Ответ: $(a,b)=(2,1),(3,2),(3,18),(n,2n)$ для всякого $n \in \mathbb N$.

Сэр, вы забыли корень $ (a;b) = (1;2) $

То есть $(1,2)$ не имеет вид $(n,2n)$?

признаю ошибку

Пусть $ 2a^2 = bk $. Не сложно заметить, что $ a+1 | 2a^2 + 2a $. Тогда $ a +1 | b - 2a $(назовем это свойством $1$).

При $ b = 2a $ получаем требуемое, то есть $ (a;b) = (n,2n) $ подходят, $ n \in \mathbb{N} $.

При $ b > 2a $ получаем $ k < a $. Умножим свойство $1$ на $k$, тогда $$ 2a^2 - 2ak \equiv 2a - 2k \equiv -2 -2k \equiv 0 \equiv 2k + 2 \pmod {a + 1} $$. Но $ 0 < 2k + 2 < 2(a+1) $, тогда $2k + 2 = a +1$, $a = 2k + 1$, $k | 2a^2 = 8k^2 + 8k + 2$, $k | 2 $. Отсюда выводим корень $ (a;b) = (3;18) $.

При $ b < 2a $ получаем $$ 0 < 2a - b < 2a + 2 $$. Тогда $2a - b = a + 1$, $b = a - 1$, $a-1 | 2a^2$, $a - 1 | 2$. Отсюда выводим корни $(a;b) = { (2;1),(3,2) }$.

Ответ: $(a;b) = { (2;1),(3,2),(3;18),(n;2n) }$, где $ n \in \mathbb{N} $.