Республиканская олимпиада по математике, 2014 год, 9 класс

Дано целое $n \geq 1$ и положительные действительные числа ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, $\ldots$, ${{a}_{n}}$. Пусть $s={{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots +{{a}_{n}}$. Известно, что для каждого $i = 1,~2,~ \ldots,~n$ выполняется неравенство ${{a}_{i}}^{2}>i{{a}_{i}}+s$. Докажите, что $2s > 3{{n}^{2}}$. ( Сатылханов К. )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Из условия ${{a}_{i}}^{2}>i{{a}_{i}}+s$ следует, что $a_i>i+\dfrac{s}{a_i}$, для каждого $i = 1,~2,~ \ldots,~n$. Поэтому $$ \displaylines { s = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} > \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {i + \frac{s}{{{a_i}}}} \right)} = \sum\limits_{i = 1}^n i + \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{s}{{{a_i}}}} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} \cdot \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1}{{{a_i}}}} \geq \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + {n^2} > \frac{{3{n^2}}}{2},} $$ откуда $2s>3n^2$.

$1)n=1\Rightarrow a_1^2>2a_1\Longrightarrow 2a_1>4>3$

$2)n=2\Rightarrow 2a_1+2a_2>2(1+2+\dfrac{a_1+a_2}{a_1}+\dfrac{a_1+a_2}{a_2})>2\cdot7>3\cdot2^2$

$3)n=3\Rightarrow 2(a_1+a_2+a_3)>2(1+2+3+9)=39>27=3\cdot3^2$

$4)n\rightarrow n+1$

$s_0=a_1+a_2+...+a_{n+1}$

$s_1=a_1+a_2+...+a_{n-1}>3(n-1)^2$

И т.д. $s_{n-1}=a_1>3\Longrightarrow s_0>3n^2+a_{n+1}$

$s_0>3(n-1)^2+a_n+a_{n+1}$

И т.д. $s_0>3+a_2+a_3+...+a_{n+1}\Longrightarrow (n+1)s>3(1^2+2^2+...+n^2)+a_1+2a_2+...(n+1)a_{n+1}>6(1^2+2^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)$ $$\Longrightarrow (!) 2(n+1)s_0>2n(n+1)(2n+1)\ge 3(n+1)^3\Longrightarrow n^2-4n+4=(n-2)^2>7\blacksquare$$