Математикадан республикалық олимпиада, 2006-2007 оқу жылы, 9 сынып

$ABC$ үшбұрышы берілген. $R$ нүктесі $AB$ сәулесінен $B$-дан әрі қарай $BR=BC$ болатындай алынған, ал $S$ нүктесі $AC$ сәулесінен $C$-дан әрі қарай $CS=CB$ болатындай алынған. $BRSC$ төртбұрышының диагональдары $A'$ нүктесінде қиылысады. Дәл сол сияқты $B'$ және $C'$ нүктелерін анықтайық. $AC'BA'CB'$ алтыбұрышының ауданы $ABC$ және $A'B'C'$ үшбұрыштарының аудандар қосындысына тең екенін дәлелде.

Комментарий/решение

Площадь треугольника ABC = S

Отметим точку I - инцентр

Отсюда следует что A'BCI -  параллелограмм, так как угол IBC = 1/2 ABC=BCA' и угол ICB=1/2 ACB=CBA'. Значит треугольник BIC=BA'C. Аналогично B'ACI,C'BCI - параллелограммы и диагональ делит параллелограмм пополам на 2 треугольника.

Площадь шестиугольника A'BC'AB'C=S+S(AB'C)+S(BA'C)+S(AC'B)= 2S

Теперь докажем что площадь треугольника A'B'C' = S. Отметим середины сторон  AB,BC,AC: M1,M2,M3. Отсюда следует что площадь M1M2M3  равна S/4 (легко доказывается с помощью формулы площади через синус угла ). С другой стороны, М1,M2,M3 также лежат на серединах IC',IA',IB'( точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам). Треугольники M1M2M3 и A'B'C' гомотетичные коэффициентом в 2, значит площадь треугольника A'B'C' в 4 раза больше M1M2M3. S(A'B'C')= 4*S/4=S.

S(A'B'C')+S=2S.