қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс
Задача №1. Дана клетчатая доска размера $2025 \times 2025$. Изначально все стороны всех единичных клеток доски покрашены в чёрный цвет. За один ход можно выбрать любой прямоугольник, состоящий из нескольких клеток доски, и перекрасить все его стороны в красный цвет (одну сторону единичной клетки можно красить несколько раз). Найдите наименьшее число ходов, за которое можно перекрасить все стороны всех единичных клеток доски в красный цвет.
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №2. Даны натуральные числа $b,M$ и простое число $p$. Строго возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1,a_2,\ldots$ такова, что $a_n^3+b$ делится на $a_{n+1}+a_n$ при всех целых $n\ge 1$. Докажите, что хотя бы одно из чисел $Mp, (M+1)p,(M+2)p,\ldots$ не встречается в этой бесконечной последовательности $a_1,a_2,\ldots$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Дан неравнобедренный остроугольный треугольник $ABC$, в котором $O$ — центр описанной окружности, a $H$ — точка пересечения высот. Прямая, проходящая через $H$ и параллельная $BC$, пересекает $AB, AC$ в точках $A_1, A_2$ соответственно. Аналогично определим точки $B_1,B_2,C_1,C_2$. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников $AA_1A_2$, $BB_1B_2$ и $CC_1C_2$ лежит на прямой $OH$. (Радикальный центр трёх окружностей — точка пересечения радикальных осей трёх пар окружностей.)
(
Зауытхан А.
)
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Задача №4. В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина стороны $AB$, $I$ — центр вписанной окружности, а $J$ — середина дуги $AB$ окружности, описанной около $\triangle ABC$, не содержащей точку $C$. К окружности с центром $J$ и радиусом $JM$ провели касательные $IP$ и $IQ$ ($A$ и $P$ лежат по одну сторону от прямой $CI$). Описанные окружности треугольников $APJ$ и $BQJ$ вторично пересекаются в точке $R$. Докажите, что $R$ лежит на прямой $AB$.
(
М. Кунгожин
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №5. Положительные действительные числа $x, y$, и натуральное число $n$ таковы, что \[\left\lfloor\frac{x^{n+1}}{y^n} \right\rfloor = \left\lfloor\frac{x}{y} \right\rfloor + \left\lfloor\frac{y^{n+1}}{x^n} \right\rfloor. \] Докажите, что $\dfrac{-1}{2n+1} < x-y < \dfrac{2}{2n-1}$. ($\lfloor t\rfloor$ — целая часть $t$, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее $t$.)
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Дано натуральное число $n$. Пусть $A$ — количество всех наборов целых чисел вида $(x_1,x_2,\ldots,x_k)$ таких, что $x_1\ge x_2\ge \cdots\ge x_k > 0$ и $\displaystyle\sum_{i=1}^k x_i=n$, а $B$ — количество всех наборов целых чисел вида $(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ таких, что $x_1\ge x_2\ge \cdots\ge x_{m-1} > 0$, $x_m=0$ и $\displaystyle\sum_{i=1}^{m-1} \min(x_i-x_{i+1},1)\cdot (x_i+i-1)=n$. Докажите, что $A=B$.
(
Аманов А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение