қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2026 год, 9 класс
Задача №1. Дан прямоугольный треугольник $ABC$, где $\angle A = 90^\circ$ и $AB\ne AC$. На сторонах $BC$, $AC$, $AB$ во внешнюю сторону построены равнобедренные прямоугольные треугольники $BCX, CAY, ABZ$ с гипотенузами $BC, CA, AB$ соответственно. Точка $W$ такова, что четырёхугольник $BACW$ — прямоугольник. Докажите, что точки $X,Y,Z,W$ образуют равнобочную трапецию.
(
Кеңшілік Е.
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Решите уравнение в натуральных числах $3^a+4^b=7^c\cdot 13^d\cdot e,$ где $a$ делится на $e$.
(
Киргизбаев Н.
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Дано целое число $n\ge 4$. Какое максимальное количество клеток на доске размера $n \times n$ можно покрасить в черный цвет так, что для любых двух черных клеток $(a,b)$ и $(c,d)$ выполнено $|a-c|+|b-d|\ne n-1$? (Здесь $(x,y)$ обозначает клетку на пересечении $x$-й строки и $y$-го столбца. Клетка в левом нижнем углу доски расположена на пересечении первой строки и первого столбца).
(
Абдирасулов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. В городе 2026 жителей. На выборах за партию $A$ готовы голосовать 41 житель, а остальные 1985 жителей — за партию $B$. Все жители города являются избирателями на выборах. Партия $A$ распределяет всех избирателей по $k$ округам. Все округа должны иметь разное количество избирателей и в каждом округе должен голосовать хотя бы один житель. В округе побеждает та партия, которая набрала строго больше голосов (при равенстве голосов объявляется ничья). При каком наибольшем $k$ партия $A$ сможет победить на выборах, выиграв строго больше округов, чем партия $B$?
(
Сарсенгали Д.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. Дано целое число $n\ge 4$. Многочлен $P(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_0$ с действительными коэффициентами имеет $n$ действительных корней (необязательно различных), причем $a_{n-1}=-n$ и $a_{n-2}=n(n-3)/2$. Найдите наименьшее возможное значение наибольшего корня $P(x)$.
(
Абдыкулов А.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Высоты $BE$ и $CF$ остроугольного треугольника $ABC$ ($AB\ne AC$) пересекаются в точке $H$. Точка $M$ — середина стороны $BC$, а $N$ — произвольная точка на отрезке $AM$. Окружность $\omega$ проходит через точки $B$ и $F$, а также касается прямой $BC$. Прямая $FN$ вторично пересекает $\omega$ в точке $X$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $BXC$ лежит на прямой $HN$.
(
Юркевич М.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)