қазақша
русскийРеспубликанская олимпиада по математике, 2026 год, 10 класс
Задача №1. Существует ли бесконечное множество $S$ натуральных чисел, удовлетворяющее следующим двум условиям:
(i) $\text{НОД}(a_1,a_2,\ldots,a_{100})=1$ для всех попарно различных $a_1,a_2,\ldots,a_{100}\in S$;
(ii) для каждого $x\in S$ найдется такое $y\in S$, что $x^2$ делится на $x+y+2026$? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)
(i) $\text{НОД}(a_1,a_2,\ldots,a_{100})=1$ для всех попарно различных $a_1,a_2,\ldots,a_{100}\in S$;
(ii) для каждого $x\in S$ найдется такое $y\in S$, что $x^2$ делится на $x+y+2026$? ( Сатылханов К. )
комментарий/решение(3)
Задача №2. Дан параллелограмм $ABCD$, где $\angle BAC=45^\circ$ и $\angle ABC > 90^\circ$. Перпендикуляр из точки $A$ на прямую $BC$ вторично пересекает описанную окружность $\triangle ACD$ в точке $E$. Прямая $EB$ пересекает диагональ $AC$ в точке $F$. Оказалось, что $EF=2AF$. Прямая $DF$ пересекает описанную окружность $\triangle ACD$ вторично в точке $M$, а прямые $AM$ и $BC$ пересекаются в точке $N$. Докажите, что прямые $CM, FN$ и $AE$ пересекаются в одной точке.
(
М. Нсанбаев
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Двое игроков играют в следующую игру. Имеется пустой граф на $S$ вершинах и $k$ карандашей различных цветов. Первый игрок называет цвет, после чего второй игрок проводит какое-нибудь ребро, не проведённое ранее, карандашом названного цвета. Затем первый игрок снова называет цвет, второй проводит ребро и т. д. Если в некоторый момент игры образуется цикл из рёбер одного цвета, то игра заканчивается, и выигрывает второй игрок. Если же все рёбра будут проведены и не образуется ни одного одноцветного цикла, то выигрывает первый игрок. Для фиксированного $S > 2$ найдите наибольшее $k$, при котором второй игрок может гарантировать себе победу.
(
Абдрахманов А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Рассмотрим клетчатую доску $n \times n$. Две клетки называются соседними, если у них есть общая сторона. Множество клеток называется связным, если из любой клетки множества можно дойти до любой другой, не выходя за пределы этого множества и двигаясь по соседним клеткам. Существует ли натуральное число $n$, для которого можно покрасить все клетки доски $n\times n$ в три цвета так, чтобы все цвета встречались, не было двух одноцветных соседних клеток и все клетки любых двух цветов составляли связное множество клеток?
(
Уразгулов А.
)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Дано целое число $n\ge 2$ и положительные действительные числа $a_1,b_1,a_2,b_2,\ldots$, $a_n,b_n$ такие, что \[\frac{a_k^2 + 1}{b_k}\ge b_1+b_2+\cdots + b_n \quad \text{и} \quad \frac{b_k^2 + 1}{a_k}\ge a_1+a_2+\cdots + a_n \] для каждого $k=1,2,\ldots,n$. Докажите, что $|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\cdots+|a_n-b_n|\le \sqrt{8n}$.
(
Сатылханов К.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. Диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Пусть $I_1, I_2, I_3, I_4$ — центры вписанных окружностей треугольников $ABE$, $BCE$, $CDE$, $DAE$ соответственно, а $\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4$ — описанные окружности треугольников $ABI_1$, $BCI_2$, $CDI_3$, $DAI_4$ соответственно. Точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Докажите, что если $M\ne N$, то на прямой $MN$ существует такая точка $P$, что степень точки $P$ относительно $\omega_1$, $\omega_2$, $\omega_3$ и $\omega_4$, равны. (Степенью точки $X$ относительно окружности с центром $O$ и радиуса $r$ называется величина $OX^2-r^2$.)
(
Зауытхан А.,
Кеңшілік Е.
)
комментарий/решение
комментарий/решение