қазақша
русскийГородская олимпиада по математике среди физ-мат школ г. Алматы, 2015 год
Задача №1. Первый ученик расставил числа $1$, $2$, $\ldots$, $2015$ по кругу и выписал в тетрадь неотрицательные разности всех пар соседних чисел. Второй ученик должен выбрать из этих разностей наименьшую. Ему интересно, какое самое большое число он может получить?
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Высоты $AA_1$ и $CC_1$, остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. На высоте $AA_1$ отмечена точка $P$ такая, что $A_1P=AH$, на высоте $CC_1$, отмечена точка $Q$ такая, что $C_1Q=CH$. Докажите, что перпендикуляры к прямым $AA_1$ и $CC_1$, проходящие через точки $P$ и $Q$ соответственно, пересекаются на описанной окружности треугольника $ABC$.
(
Ильясов С.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Докажите, что для неотрицательных чисел $x$, $y$, $z$, удовлетворяющих условию $xy+yz+zx=3$, верно неравенство
\[\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{y^2} + 3} \right)\left( {{z^2} + 3} \right) \geqslant 21\left( {x + y + z} \right) + 1.\]
(
Аубекеров Д.
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Определите множество целых значений выражения $\dfrac{{a + 1}}{b} + \dfrac{{b + 1}}{a}$ для натуральных $a$ и $b$.
(
Фольклор
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)