Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, IV тур дистанционного этапа

Делитель натурального числа называется собственным, если он больше 1 и меньше самого этого числа. Натуральное число называется элегантным, если оно имеет не менее двух собственных делителей и делится на разность любых двух из них. Найдите все элегантные числа.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 6, 8, 12.
Решение. Легко проверить, что числа 6, 8 и 12 — элегантные. Пусть $N$ — произвольное элегантное число. У нечётного числа все делители нечётные, разности делителей чётные, а нечётное число делиться на чётное не может. Поэтому, $N = 2n$. Но тогда $2n$ должно делиться на $n-2$, а значит и $4 = 2n-2(n-2)$ должно делиться на $n-2$. Значит, $n-2$ равно 4, 2, 1 или $-1$. Случай $n = 1$ отпадает, поскольку число 2 не имеет собственных делителей, остальные три случая дают три указанных в ответе элегантных числа.