Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2011-2012 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 4-ші туры

Егер натурал санның бөлгіші 1-ден үлкен және сол натурал саннан кіші бөлгіші болса, ол бөлгішті меншікті деп атаймыз. Егер натурал санның кем дегенде екі меншікті бөлгіші және сол сан кез келген екі меншікті бөлгіштерінің айырымына бөлінсе ол санды әдемі деп атаймыз. Барлық әдемі санды табыңдар.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. 6, 8, 12.
Решение. Легко проверить, что числа 6, 8 и 12 — элегантные. Пусть $N$ — произвольное элегантное число. У нечётного числа все делители нечётные, разности делителей чётные, а нечётное число делиться на чётное не может. Поэтому, $N = 2n$. Но тогда $2n$ должно делиться на $n-2$, а значит и $4 = 2n-2(n-2)$ должно делиться на $n-2$. Значит, $n-2$ равно 4, 2, 1 или $-1$. Случай $n = 1$ отпадает, поскольку число 2 не имеет собственных делителей, остальные три случая дают три указанных в ответе элегантных числа.