Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2012-2013 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 3-ші туры

$mх^2+n=0$, $nх^2+k=0$ және $kх^2+m=0$ теңдеулерінің әрқайсысының кемінде бір шешімі болатындай барлық $m$, $n$, $k$ үштіктерін табыңдар.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $m = n = k = 0$.
Решение. Если $m = 0$, то из $mx^2+n = 0$ получаем $n = 0$, а из $nx^2+k = 0$ — $k = 0$. Аналогично для $n = 0$ и $k = 0$. Таким образом, если одно из чисел $m$, $n$, $k$ равно 0, то равны 0 и два других. Допустим, ни одно из чисел $m$, $n$, $k$ не равно 0. Тогда из первого уравнения следует, что числа $m$ и $n$ имеют разные знаки, а из второго — что числа $n$ и $k$ имеют разные знаки. Но тогда числа $m$ и $k$ имеют один знак, и в третьем уравнении $x^2 = -m/k < 0$, то есть оно не имеет решений. Полученное противоречие показывает, что отличными от 0 числа $m$, $n$ и $k$ быть не могут.
Замечание. То, что каждое из уравнений, указанных в условии, имеет решение, не означает, что все три уравнения имеют одно и то же решение. Поэтому доказательство, что у системы из трех данных уравнений есть решение только при $m = n = k = 0$, не является решением задачи.