Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2013-2014 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Қабырғалары 629 бен 630 болатын тор тіктөртбұрыш бірнеше квадратқа бөлінген (барлық тілім тор сызықтарымен жұргізілген). Қабырғасы тақ болатын ең кем дегенде қанша квадрат пайда болуы мүмкін? Есепті шығару барысында қабырғасы тақ болатын квадрат саны неге ең аз екенін дәлелдеуді ұмытпаңдар.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. Два.
Решение. Пример, когда квадратов ровно два: два квадрата со стороной 315 примыкают к стороне прямоугольника длиной 630, а оставшийся прямоугольник $630\times314$ разрезан на квадраты $2\times2$. Покажем, что меньшего числа квадратов с нечетной стороной быть не может. В самом деле, к стороне прямоугольника длиной 629 примыкает хотя бы один квадрат с нечетной стороной, так как составить нечетную сторону из отрезков четной длины невозможно. Продолжим сторону $AB$ этого квадрата, перпендикулярную стороне прямоугольника длиной 629, до пересечения с противоположной стороной прямоугольника в некоторой точке $C$. Отрезок $BC$, продолжающий сторону $AB$, имеет нечетную длину $630-AB$, и потому пересекает еще хотя бы один квадрат нечетной длины.