Районная олимпиада, 2010-2011 учебный год, 11 класс

Найдите все пары простых чисел $p$ и $q$, для которых $ 0 < \left| {\frac{p} {q} - \frac{q} {p}} \right| < \frac{4} {{\sqrt {pq} }}. $

Комментарий/решение

Пусть $p>q$, тогда получим:

$\cfrac{p}{q}-\cfrac{q}{p}<\cfrac{4}{\sqrt{pq}}$

$\cfrac{p^2-q^2}{pq}<\cfrac{4}{\sqrt{pq}}$

$p^2-q^2<4\sqrt{pq}$, но $2\sqrt{pq} \leqslant p+q$

$p^2-q^2<2(p+q)$

$p-q<2$

Значит $p=3, q=2$ или $p=2, q=3$