Математикадан аудандық олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, 8 сынып

Саңырауқұлақты жаман деп айтамыз егер онда кем дегенде 10 құрт болса, қарсы жағдайда жақсы деп айтамыз. Себетте 90 жаман және 10 жақсы саңырауқұлақ бар. Бірнеше құрт жаман саңырауқұлақтан жақсы саңырауқұлаққа өткеннен кейін барлық саңырауқұлақтар жақсы болуы мүмкін бе?

Комментарий/решение

Могут, если в каждом из плохих грибов ровно 10 червей, а в хороших нет червей. Пример: с каждого плохого гриба переползает червяк на хороший гриб, для которого количество червей меньше 9. Получим все хорошие грибы по 9 червей в каждом. :)

В противном случае, не могут, так как по принципу Дирихле имеем 100 грибов и минимум 901 червя, а значит в одном грибе будет, по крайней мере, 10 червей.

Пусть в каждом плохом грибе ровно 10 червей, а в хорошем червей нет. Далее, пусть из каждого плохого гриба по одному червю переползут в хорошие, по 9 в каждый. В результате в каждом грибе окажется по 9 червей, и все грибы будут хорошими.

То есть, могут

Скопировано с: <a href="http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=65052">Решение</a>