Азия-тынық мұхит математикалық олимпиадасы, 2012 жыл

$ABC$ үшбұрышының ішінен $P$ нүктесі алынған. $AP$, $BP$ және $CP$ түзулері $BC$, $AC$ және $AB$ түзулерін екінші рет сәйкесінше $D$, $E$ және $F$ нүктелерінде қияды. Егер әр $PFA$, $PDB$ және $PEC$ үшбұрыштарының аудандары 1-ге тең болса, онда $ABC$ үшбұрышының ауданы 6-ға тең екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть $[PCD] = x, [PAE] = y, [PBF] = z$. По теореме Чевы $xyz = 1$. Также $\frac{CP}{PF} = \frac{x+1}{z} = y+1$, поэтому $x+1 = yz + z$ (аналогично $y+1 = zx + x$ и $z+1 = xy+y$). Если $x = 1$, то мы можем получить $x=y=z=1$. В противном случае WLOG $x > 1$ и $y, z < 1$ или $x < 1$ и $y, z > 1$. В первом случае $2 < x+1 = yz+z < 2$, а во втором $2 > x + 1 = yz + z > 2$, противоречие.